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一、算法效率
算法效率分析分為兩種：第一種是時間效率，第二種是空間效率。時間效率被稱為時間復(fù)雜度，而空間效率被稱作空間復(fù)雜度。 時間復(fù)雜度主要衡量的是一個算法的運行速度，而空間復(fù)雜度主要衡量一個算法所需要的額外空間。
在計算機(jī)發(fā)展的早期，計算機(jī)的存儲容量很小。所以對空間復(fù)雜度很是在乎。但是經(jīng)過計算機(jī)行業(yè)的迅速發(fā)展，計算機(jī)的存儲容量已經(jīng)達(dá)到了很高的程度。所以我們?nèi)缃褚呀?jīng)不需要再特別關(guān)注一個算法的空間復(fù)雜度。因為現(xiàn)在的內(nèi)存不像以前那么貴，所以經(jīng)常聽到過犧牲空間來換取時間的說法
二、時間復(fù)雜度
2.1 時間復(fù)雜度的概念
在計算機(jī)科學(xué)中，算法的時間復(fù)雜度是一個函數(shù)，它定量描述了該算法的運行時間。
算法中的基本操作的執(zhí)行次數(shù)，為算法的時間復(fù)雜度。從理論上說，是不能算出來的，只有你把你的程序放在機(jī)器上跑起來，才能知道。但是我們需要每個算法都上機(jī)測試嗎？是可以都上機(jī)測試，但是這很麻煩，所以才有了時間復(fù)雜度這個分析方式。
一個算法所花費的時間與其中語句的執(zhí)行次數(shù)成正比例，
算法中的基本操作的執(zhí)行次數(shù)，為算法的時間復(fù)雜度。
2.2 大O的漸進(jìn)表示法
實際中我們計算時間復(fù)雜度時，我們其實并不一定要計算精確的執(zhí)行次數(shù)，而只需要大概執(zhí)行次數(shù)，那么這里我們使用大O的漸進(jìn)表示法
大O符號（Big O notation）：是用于描述函數(shù)漸進(jìn)行為的數(shù)學(xué)符號
(1)推導(dǎo)大O階方法
用常數(shù)1取代運行時間中的所有加法常數(shù)。在修改后的運行次數(shù)函數(shù)中，只保留最高階項。如果最高階項存在且不是1，則去除與這個項目相乘的常數(shù)。得到的結(jié)果就是大O階
代碼如下（示例）：
void func(int N){
int count = 0;//執(zhí)行1次
for (int i = 0; i < N ; i++) {//執(zhí)行N*N次
for (int j = 0; j < N ; j++) {
count++;
}
}
for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {//執(zhí)行2*N次
count++;
}
int M = 10;//執(zhí)行1次
while ((M--) > 0) {//執(zhí)行10次
count++;
}
System.out.println(count);
}
所以func方法的執(zhí)行次數(shù)為 1+N2+2*N+1+10
我看到func的執(zhí)行次數(shù)，如果當(dāng)我們的N非常大時，假設(shè)N = 100，那么這里的+1和+10是不是可以忽略了，因為1002=10000,在一萬面前+1和+10可以說是微乎其微了，所以+1和+10沒什么區(qū)別。
這就用到了前面說了推導(dǎo)大O階方法，
用常數(shù)1取代運行時間中的所有加法常數(shù)。
就變成了 1+N2+2*N+1+1
再來看
在修改后的運行次數(shù)函數(shù)中，只保留最高階項。
簡化后 N2
如果最高階項存在且不是1，則去除與這個項目相乘的常數(shù)。得到的結(jié)果就是大O階
這里我們的最高階項是2，但前面沒有常數(shù)所以沒必要去除，如果N2前面還有個2就是2N2就要去除2變成 N2
所以使用大O的漸進(jìn)表示法以后，F(xiàn)unc的時間復(fù)雜度為 O(N2)
通過上面我們會發(fā)現(xiàn)大O的漸進(jìn)表示法去掉了那些對結(jié)果影響不大的項，簡潔明了的表示出了執(zhí)行次數(shù)。時間復(fù)雜度是一個函數(shù)，只能大致估一下這個算法的時間復(fù)雜度。
2.3 時間復(fù)雜度的三種情況
另外有些算法的時間復(fù)雜度存在最好、平均和最壞情況。
(1) 最壞情況
最壞情況：任意輸入規(guī)模的最大運行次數(shù)(上界) 也就是 O(N)
這里的N代表的是問題的規(guī)模
(2)最好情況
任意輸入規(guī)模的最小運行次數(shù)(下界) 也就是 O(1)
(3)平均情況
任意輸入規(guī)模的期望運行次數(shù)
注意：這里的平均情況并不是最好和最壞情況相加的平均值，而是我們期望運行的次數(shù)，有時候平均情況可能和最好或者是最壞情況一樣。
在平常我們所說的時間復(fù)雜度一般說的都是算法的最壞情況
2.4 常見時間復(fù)雜度計算舉例
2.4.1 例子
示例1：
void func2(int N) {
int count = 0;//1
for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) { //2*N
count++;
}
int M = 10;//1
while ((M--) > 0) {//10
count++;
}
System.out.println(count);
}
1+2*N+1+10 通過推導(dǎo)大O階方法后:時間復(fù)雜度為 O(N)
示例2：
void func3(int N, int M) {
int count = 0;//常數(shù)可以不加
for (int k = 0; k < M; k++) {//M
count++;
}
for (int k = 0; k < N ; k++) {//N
count++;
}
System.out.println(count);
}
時間復(fù)雜度為：O(M+N)
示例3：
void func4(int N) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; k++) {//用常數(shù)1取代運行時間中的所有加法常數(shù)
count++;
}
System.out.println(count);
}這里的時間復(fù)雜度為 O(1),因為傳進(jìn)來的N并沒有使用
2.4.2 冒泡排序時間復(fù)雜度
示例4：
這是一個冒泡排序，我們來求一下它的最好最壞和平均情況的時間復(fù)雜度
void bubbleSort(int[] array) {
for (int end = array.length; end > 0; end--) {
boolean sorted = true;
for (int i = 1; i < end; i++) {
if(array[i - 1] > array[i]){
Swap(array, i - 1, i);
sorted = false;
}
}
if (sorted == true) {
break;
}
}
}
最好：O(N)
最壞：O(N2)
平均：O(N)
這是一個經(jīng)過優(yōu)化后的冒泡排序，最好的情況就是該組數(shù)據(jù)已經(jīng)是有序的了，所以只需走一遍就好了，也是是O(N).
而最壞的情況就把數(shù)組全部遍歷了一遍就是 N2
我們前面說過平均情況就是我么個期望的情況，我們期望的當(dāng)然就是O(N)
2.4.3 二分查找的時間復(fù)雜度
我們知道求時間復(fù)雜度一般求的都是最壞的情況，二分查找只有當(dāng)我們找最旁邊那兩個個數(shù)時才是最壞情況，我們就假設(shè)我們要找的就是最邊邊的那個數(shù)。
public static int binarySearch(int[] arr,int x){
int left = 0;
int right = arr.length-1;
int mid = 0;//中間下標(biāo)
while(left <= right){
mid = left+(right-left)/2;
if(arr[mid] > x){
right = mid - 1;
}else if(arr[mid] < x){
left = mid+1;
}else{
return mid;
}
}
return -1;
}
所以二分查找的時間復(fù)雜度為 O(log2N)
2.4.4 遞歸的時間復(fù)雜度
遞歸的時間復(fù)雜度 = 遞歸的次數(shù)*每次遞歸執(zhí)行的操作的次數(shù)
示例1：
long factorial(int N) {
return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N;
}這里的的遞歸次數(shù)為 N 次，這里沒有循環(huán)，每次執(zhí)行的是一個三目操作符相當(dāng)于1次。所以為 N+1次，時間復(fù)雜度就是 O(N)。
示例2：
這是一個遞歸實現(xiàn)的斐波那契數(shù)列
public static int fib(int n){
if(n==1||n==2){
return 1;
}else{
return fib(n-1)+fib(n-2);
}
}斐波那契數(shù)列的遞歸次數(shù)其實就是一個等比數(shù)列求和，最后的執(zhí)行次數(shù)為 (2n) - 1,通過通過推導(dǎo)大O階方法最后的時間復(fù)雜度為 O(2N)
時間復(fù)雜度只是一個大概的，當(dāng)數(shù)字足夠大時這里缺失的部分并不影響我們時間復(fù)雜度的計算。
三、空間復(fù)雜度
3.1 空間復(fù)雜度概念
空間復(fù)雜度是對一個算法在運行過程中臨時(額外)占用存儲空間大小的量度
占用存儲空間大小的量度 。
空間復(fù)雜度不是程序占用了多少bytes的空間，因為這個也沒太大意義，所以空間復(fù)雜度算的是變量的個數(shù)。
空間復(fù)雜度計算規(guī)則基本跟實踐復(fù)雜度類似，也使用大O漸進(jìn)表示法
3.2 空間復(fù)雜度的計算
(1) 冒泡排序
這個冒泡排序的空間復(fù)雜度為 O(1)
為什么呢？因為空間復(fù)雜度是為了解決一個問題額外申請了其他變量，這里的array數(shù)組并不是額外的它是必須的，但這里的 sorted 是額外申請的，它每循環(huán)一次就定一次為什么不是O(N)呢？因為每循環(huán)一次這個變量是不是不要了呢？所以來來回回就是這一個變量。
void bubbleSort(int[] array) {
for (int end = array.length; end > 0; end--) {
boolean sorted = true;//額外變量
for (int i = 1; i < end; i++) {
if (array[i - 1] > array[i]) {
Swap(array, i - 1, i);
sorted = false;
}
}
if (sorted == true) {
break;
}
}
}
(2) 斐波那契數(shù)列
這里的空間復(fù)雜度為 O(N)
這里為了求第1~N的斐波那契數(shù)列的代碼，為了解決這個問題申請了一個額外的數(shù)組的空間，空間大小為 N+1。因為1是常數(shù)項，所以這個代碼的空間復(fù)雜度為 O(N)
public static long[] fibonacci(int n) {
long[] fibArray = new long[n + 1];//額外空間
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n ; i++) {
fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
}
return fibArray;
}
(3)遞歸
這是一個求階層的遞歸，他的空間復(fù)雜度為 O(N)
因為遞歸在遞的過程中，每遞一次都會都會創(chuàng)建一個臨時變量。
long factorial(int N) {
return N < 2 ? N : factorial(N-1)*N;
}四、總結(jié)
1.在平常我們所說的時間復(fù)雜度一般說的都是算法的最壞情況
2.時間復(fù)雜度度是一個函數(shù)，這個函數(shù)只能大致估一下這個算法的時間復(fù)雜度
3.空間復(fù)雜度是個算法在運行過程中額外占用存儲空間大小的量度
關(guān)于算法的時間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度的介紹，并通過Java編寫算法計算復(fù)雜度的內(nèi)容就介紹到此結(jié)束了，如果你還想要了解更多關(guān)于Java語言相關(guān)的算法內(nèi)容，請多多關(guān)注W3Cschool相關(guān)內(nèi)容的文章。
