在圖論中求最短路徑的算法主要有三種，其中最具代表性的當屬Dijkstra算法，那么Dijkstra算法算法要如何在python中實現(xiàn)呢？今天小編就帶你來了解一下。
問題描述
現(xiàn)有一個有向賦權圖。如下圖所示：
問題：根據(jù)每條邊的權值，求出從起點s到其他每個頂點的最短路徑和最短路徑的長度。
說明：不考慮權值為負的情況，否則會出現(xiàn)負值圈問題。
s：起點
v：算法當前分析處理的頂點
w：與v鄰接的頂點
d v d_v dv?：從s到v的距離
d w d_w dw?：從s到w的距離
c v , w c_{v,w} cv,w?：頂點v到頂點w的邊的權值
問題分析
Dijkstra算法按階段進行，同無權最短路徑算法（先對距離為0的頂點處理，再對距離為1的頂點處理，以此類推）一樣，都是先找距離最小的。
在每個階段，Dijkstra算法選擇一個頂點v，它在所有unknown頂點中具有最小的 d v d_v dv?，同時算法聲明從s到v的最短路徑是known的。階段的其余部分為，對w的 d v d_v dv?（距離）和 p v p_v pv?（上一個頂點）更新工作（當然也可能不更新）。
在算法的每個階段，都是這樣處理的：
【0.5】在無權的情況下，若 d w d_w dw?= ∞ infty ∞則置 d w = d v + 1 d_w=d_v+1 dw?=dv?+1（無權最短路徑）
【1】在有權的情況下，若 d w d_w dw?= ∞ infty ∞則置 d w = d v + c v , w d_w=d_v+c_{v,w} dw?=dv?+cv,w?
【2】若 d w d_w dw?！= ∞ infty ∞，開始分析：從頂點v到頂點w的路徑，若能使得w的路徑長比w原來的路徑長短一點，那么就需要對w進行更新，否則不對w更新。即滿足 d v + c v , w < d w d_v+c_{v,w}<d_w dv?+cv,w?<dw?時，就需要把 d w d_w dw?的值更新為 d v + c v , w d_v+c_{v,w} dv?+cv,w?，同時頂點w的 p v p_v pv?值得改成頂點v
實現(xiàn)過程
考慮Dijkstra算法過程中，有一個數(shù)據(jù)變化表。
初始狀態(tài)如上。開始頂點s是 v 1 v_1 v1?，所有頂點都是unknown的。 v 1 v_1 v1?的 d v d_v dv?的值為0，因為它是起點。
【1】選擇unknown頂點中， d v d_v dv?值最小的頂點，即頂點 v 1 v_1 v1?。首先將 v 1 v_1 v1?標記為known。對與 v 1 v_1 v1?鄰接的頂點 v 2 v 4 v_2 v_4 v2?v4?進行調(diào)整： v 2 v_2 v2?的距離變?yōu)?d v + c v , w d_v+c_{v,w} dv?+cv,w?即 v 1 v_1 v1?的 d v d_v dv?值+ c 1 , 2 c_{1,2} c1,2?即0+2=2， v 2 v_2 v2?的 p v p_v pv?值變?yōu)?v 1 v_1 v1?；同理，對 v 4 v_4 v4?作相應的處理。
【2】選擇unknown頂點中， d v d_v dv?值最小的頂點，即頂點 v 4 v_4 v4?（其距離為1，最?。?。將 v 4 v_4 v4?標記為known。對其鄰接的頂點 v 3 v 5 v 6 v 7 v_3 v_5 v_6 v_7 v3?v5?v6?v7?作相應的處理。
【3】選擇unknown頂點中， d v d_v dv?值最小的頂點，即頂點 v 2 v_2 v2?（其距離為2，最?。?。將 v 2 v_2 v2?標記為known。對其鄰接的頂點 v 4 v 5 v_4v_5 v4?v5?作相應的處理。但 v 4 v_4 v4?是已知的，所以不需要調(diào)整；因為經(jīng)過 v 2 v_2 v2?到 v 5 v_5 v5?的距離為2+10=12，而s到 v 5 v_5 v5?路徑為3是已知的（上表中， v 5 v_5 v5?的 d v d_v dv?為3），12>3，所以也不需要也沒有必要調(diào)整。
【4】選擇unknown頂點中， d v d_v dv?值最小的頂點，即頂點 v 5 v_5 v5?（距離為3，最小，其實還有 v 3 v_3 v3?也是距離為3，但博主發(fā)現(xiàn)這里，先 v 5 v_5 v5?再 v 3 v_3 v3?和先 v 3 v_3 v3?再 v 5 v_5 v5?的運行結(jié)果都是一樣的）。將 v 5 v_5 v5?標記為known。對其鄰接的頂點 v 7 v_7 v7?作相應的處理。但原路徑長更小，所以不用調(diào)整。
【5】再對 v 3 v_3 v3?處理。對 v 6 v_6 v6?的距離下調(diào)到3+5=8
【6】再對 v 7 v_7 v7?處理。對 v 6 v_6 v6?的距離下調(diào)到5+1=6
【7】最后，再對 v 6 v_6 v6?處理。不需調(diào)整。
上述實現(xiàn)過程對應的算法，可能需要用到優(yōu)先隊列，每次出隊 d v d_v dv?值最小的頂點，因為如果只是遍歷來找到 d v d_v dv?值最小的頂點，可能會花費很多時間。
如何使用數(shù)據(jù)變化表
數(shù)據(jù)變化表的最終情況如下：
現(xiàn)在我們能找到起點 v 1 v_1 v1?到任意的 v i v_i vi?（除了起點）的最短路徑，及其最短路徑長。
比如，找到 v 1 v_1 v1?到 v 3 v_3 v3?的最短路徑。
【1】 v 3 v_3 v3?的 d v d_v dv?值為3，所以最短路徑長為3
【2】 v 3 v_3 v3?的 p v p_v pv?值為 v 4 v_4 v4?，所以 v 3 v_3 v3?的上一個頂點為 v 4 v_4 v4?
【3】到代表 v 4 v_4 v4?的第四行，發(fā)現(xiàn) v 4 v_4 v4?的 p v p_v pv?值為 v 1 v_1 v1?，所以 v 4 v_4 v4?的上一個頂點為 v 1 v_1 v1?
【4】 v 1 v_1 v1?是起點，結(jié)束。 v 3 v_3 v3?上一個是 v 4 v_4 v4?， v 4 v_4 v4?上一個是 v 1 v_1 v1?，反過來就得到了最短路徑 v 1 = > v 4 = > v 3 v_1=>v_4=>v_3 v1?=>v4?=>v3?
上述分析，其實就是求最短路徑的算法的思想：在對每個頂點對象進行處理后變成數(shù)據(jù)變化表的最終情況后，可以通過對任意頂點 v i v_i vi?的 p v p_v pv?值，回溯得到反轉(zhuǎn)的最短路徑。
代碼實現(xiàn)
紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行！使用python3來實現(xiàn)功能。
本文提到，將使用優(yōu)先隊列來實現(xiàn)尋找未知頂點中，具有最小dist的頂點。使用python已有實現(xiàn)好的優(yōu)先隊列。但實驗中報錯如下：
意思，Vertex實例并不支持小于比較運算符。所以需要實現(xiàn)Vertex類的__lt__方法。下面科普一下：
| 方法名 | 比較運算符 | 含義 |
|---|---|---|
__eq__ |
== | equal |
__lt__ |
< | less than |
__le__ |
<= | less and equal |
__gt__ |
> | greater than |
__ge__ |
>= | greater and equal |
但很遺憾，python庫自帶的優(yōu)先隊列from queue import PriorityQueue，并不滿足本文的需求。當PriorityQueue的元素為對象時，需要該對象的class實現(xiàn)__lt__函數(shù)，在往優(yōu)先隊列里添加元素時，內(nèi)部是用的堆排序，堆排序的特點為每個堆（以及每個子堆）的第一個元素總是那個最小的元素。關鍵在于，在建立了這個堆后，堆就已經(jīng)記錄下來了創(chuàng)建堆時各個元素的大小關系了，在創(chuàng)建優(yōu)先隊列后，再改變某個對象的值，這個堆的結(jié)構是肯定不會變的，所以這種堆排序造成了排序是一次性的，如果之后某個對象的屬性發(fā)生變化，堆的結(jié)構也不會隨之而改變。
或者說，我們想要的優(yōu)先隊列肯定不是系統(tǒng)提供的優(yōu)先隊列，因為我們要支持可變對象的成員修改導致堆的改變，解決方案有三種，1.內(nèi)部使用的堆排序的堆，最起碼要支持，刪除任意節(jié)點和增加節(jié)點操作（因為這兩步就可以達到修改的效果了）2.這個內(nèi)部堆，在執(zhí)行出隊操作時，考察哪個節(jié)點有修改操作，再把堆改變到正確的形態(tài)，再出隊3.維護一個list，進行排降序，然后每改變一個可變對象的值，就對這個對象進行冒泡或者二分查找找到位置（因為別的都是已經(jīng)排好序的了，只有它不在正確的位置），最后再list.pop()，但第三個方案是我后來想到的，所以下面代碼并不是這樣實現(xiàn)的，讀者可以進行嘗試，肯定比每次遍歷全部快。
應該說，可能用不上隊列了。我們可能只需要一個list或者set來存儲v，在出隊前隨便vi改變其dist，在出隊時再遍歷找到最小的dist的vi，再刪除掉這個vi即可。因為vi的dist一直在變，需求特殊，但是沒必要專門造個輪子（感覺這個輪子也不好造），雖然時間復雜度可能高了點，但代碼簡單了啊。
優(yōu)先隊列中的堆排序
失效代碼如下：三個節(jié)點對象的dist都是無窮大，在三個對象都進入隊列，再把v3的dist改成0，想要的效果是出隊出v3，但出隊出的是v1。原因如上：
from queue import PriorityQueue
class Vertex:
#頂點類
def __init__(self,vid,dist):
self.vid = vid
self.dist = dist
def __lt__(self,other):
return self.dist < other.dist
v1=Vertex(1,float('inf'))
v2=Vertex(2,float('inf'))
v3=Vertex(3,float('inf'))
vlist = [v1,v2,v3]
q = PriorityQueue()
for i in range(0,len(vlist)):
q.put(vlist[i])
v3.dist = 0
print('vid:',q.get().vid)#結(jié)果為vid: 1
而如果將在入隊前，就把dist改變了，就能正確的出隊。
v3.dist = 0
for i in range(0,len(vlist)):
q.put(vlist[i])
#結(jié)果為vid: 3 使用set代替優(yōu)先隊列
class Vertex:
#頂點類
def __init__(self,vid,outList):
self.vid = vid#出邊
self.outList = outList#出邊指向的頂點id的列表，也可以理解為鄰接表
self.know = False#默認為假
self.dist = float('inf')#s到該點的距離,默認為無窮大
self.prev = 0#上一個頂點的id，默認為0
def __eq__(self, other):
if isinstance(other, self.__class__):
return self.vid == other.vid
else:
return False
def __hash__(self):
return hash(self.vid)
#創(chuàng)建頂點對象
v1=Vertex(1,[2,4])
v2=Vertex(2,[4,5])
v3=Vertex(3,[1,6])
v4=Vertex(4,[3,5,6,7])
v5=Vertex(5,[7])
v6=Vertex(6,[])
v7=Vertex(7,[6])
#存儲邊的權值
edges = dict()
def add_edge(front,back,value):
edges[(front,back)]=value
add_edge(1,2,2)
add_edge(1,4,1)
add_edge(3,1,4)
add_edge(4,3,2)
add_edge(2,4,3)
add_edge(2,5,10)
add_edge(4,5,2)
add_edge(3,6,5)
add_edge(4,6,8)
add_edge(4,7,4)
add_edge(7,6,1)
add_edge(5,7,6)
#創(chuàng)建一個長度為8的數(shù)組，來存儲頂點，0索引元素不存
vlist = [False,v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7]
#使用set代替優(yōu)先隊列，選擇set主要是因為set有方便的remove方法
vset = set([v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7])
def get_unknown_min():#此函數(shù)則代替優(yōu)先隊列的出隊操作
the_min = 0
the_index = 0
j = 0
for i in range(1,len(vlist)):
if(vlist[i].know is True):
continue
else:
if(j==0):
the_min = vlist[i].dist
the_index = i
else:
if(vlist[i].dist < the_min):
the_min = vlist[i].dist
the_index = i
j += 1
#此時已經(jīng)找到了未知的最小的元素是誰
vset.remove(vlist[the_index])#相當于執(zhí)行出隊操作
return vlist[the_index]
def main():
#將v1設為頂點
v1.dist = 0
while(len(vset)!=0):
v = get_unknown_min()
print(v.vid,v.dist,v.outList)
v.know = True
for w in v.outList:#w為索引
if(vlist[w].know is True):
continue
if(vlist[w].dist == float('inf')):
vlist[w].dist = v.dist + edges[(v.vid,w)]
vlist[w].prev = v.vid
else:
if((v.dist + edges[(v.vid,w)])<vlist[w].dist):
vlist[w].dist = v.dist + edges[(v.vid,w)]
vlist[w].prev = v.vid
else:#原路徑長更小，沒有必要更新
pass
main()
print('v1.prev:',v1.prev,'v1.dist',v1.dist)
print('v2.prev:',v2.prev,'v2.dist',v2.dist)
print('v3.prev:',v3.prev,'v3.dist',v3.dist)
print('v4.prev:',v4.prev,'v4.dist',v4.dist)
print('v5.prev:',v5.prev,'v5.dist',v5.dist)
print('v6.prev:',v6.prev,'v6.dist',v6.dist)
print('v7.prev:',v7.prev,'v7.dist',v7.dist)
運行結(jié)果與數(shù)據(jù)變化表的最終情況一致。
得到最短路徑
把以下代碼和以上代碼合起來就可以運行成功，使用遞歸的思想來做：
def real_get_traj(start,index):
traj_list = []
def get_traj(index):#參數(shù)是頂點在vlist中的索引
if(index == start):#終點
traj_list.append(index)
print(traj_list[::-1])#反轉(zhuǎn)list
return
if(vlist[index].dist == float('inf')):
print('從起點到該頂點根本沒有路徑')
return
traj_list.append(index)
get_traj(vlist[index].prev)
get_traj(index)
print('該最短路徑的長度為',vlist[index].dist)
real_get_traj(1,3)
real_get_traj(1,6)
如圖所示，從v1到v3的最短路徑為：[1, 4, 3]
從v1到v6的最短路徑為：[1, 4, 7, 6]
負權邊
Dijkstra算法要求邊上的權值不能為負數(shù)，不然就會出錯。如上，本來最短路徑是012，但由于算法是貪心的，所以只會直接選擇到2
算法改進（若為無圈圖）
注意，只有有向無圈圖才有拓撲排序。
如果知道圖是無圈圖，那么我們可以通過改變聲明頂點為known的順序（原本這個順序是，每次從unknown里面找出個最小dist的頂點），或者叫做頂點選取法則，來改進Dijkstra算法。新法則以拓撲排序選擇頂點。由于選擇和更新（每次選擇和更新完成后，就會變成數(shù)據(jù)變化表中的某一種情況）可以在拓撲排序執(zhí)行的時候進行，因此算法能一趟完成。
因為當一個頂點v被選取以后，按照拓撲排序的法則它肯定沒有任何unknown頂點到v（指明方向）的入邊，因為v的距離 d v d_v dv?不可能再下降了（因為根本沒有別的路到v了），所以這種選擇方法是可行的。
使用這種方法不需要優(yōu)先隊列。
到此這篇python3實現(xiàn)Dijkstra算法最短路徑的文章就介紹到這了,更多最短路徑算法內(nèi)容請搜索W3Cschool以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關文章。
