我們在用神經網絡求解PDE時， 經常要用到輸出值對輸入變量（不是Weights和Biases）求導； 在訓練WGAN-GP 時， 也會用到網絡對輸入變量的求導。以上兩種需求， 均可以用pytorch 中的autograd.grad() 函數實現。
autograd.grad(outputs, inputs, grad_outputs=None, retain_graph=None, create_graph=False, only_inputs=True, allow_unused=False)
outputs: 求導的因變量（需要求導的函數）
inputs: 求導的自變量
grad_outputs: 如果 outputs為標量，則grad_outputs=None,也就是說，可以不用寫; 如果outputs 是向量，則此參數必須寫，不寫將會報如下錯誤：
那么此參數究竟代表著什么呢？
先假設
為一維向量, 即可設自變量因變量分別為 
， 其對應的 Jacobi 矩陣為
grad_outputs 是一個shape 與 outputs 一致的向量, 即
在給定grad_outputs 之后，真正返回的梯度為
為方便下文敘述我們引入記號 
其次假設 
,第i個列向量對應的Jacobi矩陣為
此時的grad_outputs 為(維度與outputs一致)
由第一種情況， 我們有
也就是說對輸出變量的列向量求導，再經過權重累加。
若
沿用第一種情況記號
, 其中每一個
均由第一種方法得出，
即對輸入變量列向量求導，之后按照原先順序排列即可。
retain_graph: True 則保留計算圖， False則釋放計算圖
create_graph: 若要計算高階導數，則必須選為True
allow_unused: 允許輸入變量不進入計算
下面我們看一下具體的例子：
import torch
from torch import autograd
x = torch.rand(3, 4)
x.requires_grad_()觀察 x 為
不妨設 y 是 x 所有元素的和， 因為 y是標量，故計算導數不需要設置grad_outputs
y = torch.sum(x)
grads = autograd.grad(outputs=y, inputs=x)[0]
print(grads)結果為
若y是向量
y = x[:,0] +x[:,1]
# 設置輸出權重為1
grad = autograd.grad(outputs=y, inputs=x, grad_outputs=torch.ones_like(y))[0]
print(grad)
# 設置輸出權重為0
grad = autograd.grad(outputs=y, inputs=x, grad_outputs=torch.zeros_like(y))[0]
print(grad)結果為
最后， 我們通過設置 create_graph=True 來計算二階導數
y = x ** 2
grad = autograd.grad(outputs=y, inputs=x, grad_outputs=torch.ones_like(y), create_graph=True)[0]
grad2 = autograd.grad(outputs=grad, inputs=x, grad_outputs=torch.ones_like(grad))[0]
print(grad2)結果為
綜上，我們便搞清楚了它的求導機制。
補充：pytorch學習筆記：自動微分機制(backward、torch.autograd.grad)
一、前言
神經網絡通常依賴反向傳播求梯度來更新網絡參數，求梯度過程通常是一件非常復雜而容易出錯的事情。
而深度學習框架可以幫助我們自動地完成這種求梯度運算。
Pytorch一般通過反向傳播 backward方法 實現這種求梯度計算。該方法求得的梯度將存在對應自變量張量的grad屬性下。
除此之外，也能夠調用torch.autograd.grad函數來實現求梯度計算。
這就是Pytorch的自動微分機制。
二、利用backward方法求導數
backward方法通常在一個標量張量上調用，該方法求得的梯度將存在對應自變量張量的grad屬性下。如果調用的張量非標量，則要傳入一個和它同形狀的gradient參數張量。相當于用該gradient參數張量與調用張量作向量點乘，得到的標量結果再反向傳播。
1, 標量的反向傳播
import numpy as np
import torch
# f(x) = a*x**2 + b*x + c的導數
x = torch.tensor(0.0,requires_grad = True) # x需要被求導
a = torch.tensor(1.0)
b = torch.tensor(-2.0)
c = torch.tensor(1.0)
y = a*torch.pow(x,2) + b*x + c
y.backward()
dy_dx = x.grad
print(dy_dx)
輸出：
tensor(-2.)
2, 非標量的反向傳播
import numpy as np
import torch
# f(x) = a*x**2 + b*x + c
x = torch.tensor([[0.0,0.0],[1.0,2.0]],requires_grad = True) # x需要被求導
a = torch.tensor(1.0)
b = torch.tensor(-2.0)
c = torch.tensor(1.0)
y = a*torch.pow(x,2) + b*x + c
gradient = torch.tensor([[1.0,1.0],[1.0,1.0]])
print("x:
",x)
print("y:
",y)
y.backward(gradient = gradient)
x_grad = x.grad
print("x_grad:
",x_grad)
輸出：
x:
tensor([[0., 0.],
[1., 2.]], requires_grad=True)
y:
tensor([[1., 1.],
[0., 1.]], grad_fn=<AddBackward0>)
x_grad:
tensor([[-2., -2.],
[ 0., 2.]])
3, 非標量的反向傳播可以用標量的反向傳播實現
import numpy as np
import torch
# f(x) = a*x**2 + b*x + c
x = torch.tensor([[0.0,0.0],[1.0,2.0]],requires_grad = True) # x需要被求導
a = torch.tensor(1.0)
b = torch.tensor(-2.0)
c = torch.tensor(1.0)
y = a*torch.pow(x,2) + b*x + c
gradient = torch.tensor([[1.0,1.0],[1.0,1.0]])
z = torch.sum(y*gradient)
print("x:",x)
print("y:",y)
z.backward()
x_grad = x.grad
print("x_grad:
",x_grad)
輸出：
x: tensor([[0., 0.],
[1., 2.]], requires_grad=True)
y: tensor([[1., 1.],
[0., 1.]], grad_fn=<AddBackward0>)
x_grad:
tensor([[-2., -2.],
[ 0., 2.]])
三、利用autograd.grad方法求導數
import numpy as np
import torch
# f(x) = a*x**2 + b*x + c的導數
x = torch.tensor(0.0,requires_grad = True) # x需要被求導
a = torch.tensor(1.0)
b = torch.tensor(-2.0)
c = torch.tensor(1.0)
y = a*torch.pow(x,2) + b*x + c
# create_graph 設置為 True 將允許創(chuàng)建更高階的導數
dy_dx = torch.autograd.grad(y,x,create_graph=True)[0]
print(dy_dx.data)
# 求二階導數
dy2_dx2 = torch.autograd.grad(dy_dx,x)[0]
print(dy2_dx2.data)
輸出：
tensor(-2.)
tensor(2.)
import numpy as np
import torch
x1 = torch.tensor(1.0,requires_grad = True) # x需要被求導
x2 = torch.tensor(2.0,requires_grad = True)
y1 = x1*x2
y2 = x1+x2
# 允許同時對多個自變量求導數
(dy1_dx1,dy1_dx2) = torch.autograd.grad(outputs=y1,
inputs = [x1,x2],retain_graph = True)
print(dy1_dx1,dy1_dx2)
# 如果有多個因變量，相當于把多個因變量的梯度結果求和
(dy12_dx1,dy12_dx2) = torch.autograd.grad(outputs=[y1,y2],
inputs = [x1,x2])
print(dy12_dx1,dy12_dx2)
輸出：
tensor(2.) tensor(1.)
tensor(3.) tensor(2.)
四、利用自動微分和優(yōu)化器求最小值
import numpy as np
import torch
# f(x) = a*x**2 + b*x + c的最小值
x = torch.tensor(0.0,requires_grad = True) # x需要被求導
a = torch.tensor(1.0)
b = torch.tensor(-2.0)
c = torch.tensor(1.0)
optimizer = torch.optim.SGD(params=[x],lr = 0.01)
def f(x):
result = a*torch.pow(x,2) + b*x + c
return(result)
for i in range(500):
optimizer.zero_grad()
y = f(x)
y.backward()
optimizer.step()
print("y=",f(x).data,";","x=",x.data)
輸出：
y= tensor(0.) ; x= tensor(1.0000)
以上就是pytorch中autograd.grad()函數的用法說明，希望能給大家一個參考，也希望大家多多支持W3Cschool。如有錯誤或未考慮完全的地方，望不吝賜教。
